Фамилия Генько — характерный пример украинской модели фамилий на -ко, которая в XVI–XVII веках была одной из самых продуктивных в Поднепровье, Галиции и на Волыни. Суффикс -ко в украинской антропонимии выполнял функцию уменьшительности, но в фамилиях он чаще указывал на сына или потомка человека, чьё имя или прозвище легло в основу. То есть Генько — это «маленький Геня» или «сын Гени».

Основа здесь — Геня. Это народная, обиходная форма нескольких полных имён. Чаще всего — от Геннадий (греч. «благородный»), но также могла быть сокращением от Евгений («благородный» в греческом же значении) или от редкого в русской традиции имени Генрих (герм. «домашний правитель»). Украинские и белорусские говоры охотно усекали имена до одного-двух слогов, так что Геня — естественный вариант для Геннадия, как Ваня от Иван или Петя от Пётр.

Менее вероятна, но возможна версия от прозвища Гень, Геня, связанного с диалектным глаголом «генькать» — говорить в нос, гнусавить. В некоторых южнорусских и украинских говорах так называли человека с гнусавым голосом. Поскольку фамилия распространена прежде всего на западе и в центре Украины (Львовская, Тернопольская, Хмельницкая области), а также среди потомков переселенцев в Краснодарском крае и Ставрополье, прозвищная версия не исключена, но уступает по вероятности имени.

География бытования фамилии Генько почти целиком украинская. В России она встречается редко и, как правило, у носителей, чьи предки уехали с Украины в ходе столыпинских переселений или во время индустриализации. В польских переписях фамилия Gieńko фиксируется на востоке Люблинского воеводства — это следы украинского населения, которое до акции «Висла» жило на этих землях.

Ударение в фамилии устойчиво падает на второй слог — Генько́. В украинском языке оно может смещаться на первый только в некоторых говорах, но литературная норма — на окончание. При склонении фамилия ведёт себя как типичное украинское -ко: не склоняется в мужском и женском варианте, хотя в разговорной речи XIX века встречались формы «Геньки», «Геньке».