Фамилия Гененко звучит на южнорусский и украинский лад — характерный суффикс -енко указывает на восточноукраинское или белорусское происхождение, где такие фамилии в XVI–XVII веках означали «сын» или «потомок». В основе лежит имя или прозвище Гена, Геня. Это могла быть уменьшительная форма от крестильного имени Геннадий (греч. «благородный») или от более редкого Генезий (тоже греческого корня, означающего «род», «происхождение»). В народной среде имя Геннадий часто сокращали до Гена, Геня, и от этой обиходной формы и пошла фамилия.

Версия с прозвищем тоже возможна, хотя менее вероятна: в некоторых говорах «геня» означало что-то вроде «простак» или «недотёпа», но это значение локальное и не закрепилось в литературном языке. Куда правдоподобнее, что перед нами типичная «сыновья» фамилия от имени: Гененко — буквально «Генин сын». Суффикс -енко в украинской традиции присоединялся к основам на -а, поэтому Гена + енко дало Гененко, а не Генин.

Географически фамилия чаще всего встречается в Сумской, Полтавской и Черниговской областях Украины, а также в приграничных районах России — Курской и Белгородской областях. Это неудивительно: именно там активно шло формирование фамилий на -енко в среде казачества и крестьянства. Социальный состав носителей — в основном свободные земледельцы и казаки, реже мещане. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано, что подтверждает её народное, неаристократическое происхождение.

Написание фамилии устойчивое, без вариантов вроде Гененков — это говорит о том, что она сложилась уже после закрепления украинской модели словообразования. Если встретите Гененко в старых метрических книгах, скорее всего, перед вами запись о крестьянине или казаке из левобережной Украины.