Фамилия Глинсий — один из тех случаев, когда написание подсказывает географию, а не корень. Если вы встретили именно такой вариант (с конечным «-ий»), перед вами почти наверняка украинская или белорусская фамилия, записанная по местной традиции. В русском языке та же основа превратилась бы в Глинский.

Корень здесь прозрачный — «глин-». Большинство носителей получили фамилию по названию населённого пункта: сёл и местечек с именем Глинск, Глинное, Глинье на Украине и в Беларуси десятки. Типовая модель для таких фамилий — суффикс «-ск-», указывающий на принадлежность к месту. Человек, переехавший из Глинска в другой город, становился Глинским (или Глинсием в местном произношении). Вторая версия, менее частая, но возможная: прозвище Глинса — так могли назвать человека, жившего на глинистой почве, работавшего с глиной (гончара, строителя печей) или имевшего землистый цвет лица. В этом случае суффикс «-ий» выполняет ту же роль, что и «-ов»: «чей?» — Глинсий, то есть сын или потомок Глинсы.

Обратите внимание на написание через «и» во втором слоге — «Глинсий», а не «Глинсей». Это не ошибка, а характерная черта: в украинской орфографии после шипящих и «ц» пишется «и» там, где в русском было бы «е» (сравните: «цариця» — «царица»). Фамилия Глинсий в таком виде — живое свидетельство того, что предки говорили на украинском или белорусском говоре. Встречается она преимущественно в центральных и западных областях Украины, а также в юго-западных районах Беларуси.

В дворянские роды Глинские (с ударением на первый слог) попали через князей Глинских — литовско-русский род, владевший городом Глинск на Полтавщине. Но фамилия Глинсий к этой знаменитой династии, скорее всего, прямого отношения не имеет: княжеские фамилии закреплялись в форме «-ский» и передавались по наследству без украинского смягчения. Ваши предки, вероятно, были крестьянами или казаками, чью фамилию образовали от названия родного села — просто и без претензий на знатность.