Фамилия Гливкий — одна из тех, где сразу бросается в глаза необычное окончание. В русской фамильной системе суффикс -ий чаще всего указывает на прилагательное, которое когда-то было прозвищем. Это не типичная «сыновья» модель (-ов, -ин), а скорее описательная, прямая: человека так называли, и это слово закрепилось за ним и его потомками.

Корень здесь — «гливк-». В современном русском литературном языке такого слова нет, но оно хорошо известно в южнорусских и украинских говорах. «Гливкий» (или «глывкий») — диалектное прилагательное, означающее «скользкий», «вязкий», «липкий». В некоторых регионах так говорили о глинистой, мокрой дороге или о чём-то, что трудно удержать в руках. Прозвище Гливкий могли дать человеку с увёртливым, «скользким» характером, которого трудно поймать на слове или обязать к чему-то. Либо, наоборот, — неуклюжему, кто постоянно поскальзывался и пачкался.

Вероятнее всего, фамилия имеет украинское или белорусское происхождение. В этих языках прилагательные на -ий (-ій) в роли фамилий встречаются чаще, чем в великорусских землях (ср. украинские фамилии Товстий, Білий, Довгий). Украинское «гливкий» (глибокий? нет, тут иная семантика) или «глевкий» (клейкий, вязкий) — прямое указание на свойство. Менее вероятна, но возможна связь с польским «gliwy» — тоже «скользкий», что говорит о возможном влиянии западных славянских говоров.

В дореволюционных документах фамилия могла писаться через «ы» — Глывкий, что ближе к народному произношению. Встречается она редко, в основном на территории современной Украины (особенно в центральных и западных областях) и в приграничных районах России. Сословной принадлежности у фамилии нет: её мог носить и крестьянин, и казак, и мещанин — прозвище не указывало на профессию или социальный статус, а лишь на внешнюю или внутреннюю черту.

Если сравнивать с однокоренными, то в русских фамилиях чаще встречается Гливинский (от названия населённого пункта Гливино) или Глувко (от «глувкий» — глуховатый). Гливкий стоит особняком: это редкий случай, когда прозвище-прилагательное сохранилось почти без изменений, не обрастая суффиксами принадлежности. Фамилия звучит как застывшая характеристика, которую дали предку несколько веков назад.