Фамилия Гончакук звучит необычно для русского уха, и в этом её подсказка: она явно невеликорусского происхождения, а скорее всего — украинская или западнорусская. Основа здесь прозрачна — «гончар», то есть мастер, делающий глиняную посуду. В украинском языке слово «гончар» — то же самое, что и в русском, а суффикс -ук (в украинской орфографии часто -ук или -юк) — один из самых распространённых патронимических суффиксов на Украине. Он означает «сын» или «потомок»: Гончарук — буквально «сын гончара». Ваш вариант — Гончакук — это, скорее всего, фонетическая или орфографическая вариация того же самого, записанная на слух. В русском языке звук «ч» перед «у» иногда смягчается, и «Гончарук» могло превратиться в «Гончакук» при переносе в документы, особенно в XIX веке, когда писари фиксировали фамилии не по правилам, а как слышали.

Обратите внимание на суффикс: -ук (-юк) типичен для Правобережной Украины, Подолья, Волыни, а также для белорусского Полесья. Если ваши предки носили фамилию Гончакук, велика вероятность, что они происходят из этих регионов. В отличие от русских фамилий на -ов/-ев или -ин, которые тоже могли указывать на профессию отца («Гончаров»), украинская модель на -ук подчёркивает именно родство, а не принадлежность: «чей ты?» — «Гончаруков», то есть из рода гончаров. Ремесло гончара было повсеместным, кормило многие семьи, поэтому фамилия Гончарук (и её варианты) — одна из самых частых на Украине, но написание «Гончакук» встречается реже и может говорить о местном говоре или ошибке при записи.

Других версий, например связи с тюркским корнем или редким прозвищем, нет — основа слишком очевидна. Фамилия не дворянская и не книжная; она из народной среды, где прозвище по занятию отца переходило к детям. Если искать однокоренные параллели, то рядом стоят Гончаренко (с суффиксом -енко, типичным для восточной Украины) и Гончар (без суффикса, просто прозвище). Гончакук — та же история, только в западном диалектном оформлении.