Фамилия Горелмков — редкий случай, когда написание почти наверняка искажено. В русском языке нет устоявшейся основы «горелм-», и ни один из известных ономастических словарей (Б. Унбегаун, В. Никонов) такую форму не фиксирует. С высокой вероятностью перед нами опечатка или ошибка переписчика, и правильная фамилия — Горемыков.

Если это так, то корень здесь — горе-мыка, то есть «горе мыкающий», человек, которому досталась трудная, полная бедствий судьба. Слово «мыкать» в древнерусском означало «таскать, скитаться, терпеть лишения». Прозвище Горемыка давали человеку, который постоянно попадал в беду, болел, бедствовал или много странствовал по нужде. Фамилия образована по стандартной модели: прозвище Горемыка + суффикс -ов, дающий значение «сын Горемыки» или «из семьи Горемыки».

Менее вероятный вариант — связь с глаголом гореть и редким диалектным словом. В некоторых говорах «горелка» значила «водка», а «горель» — «гарь» или «выжженное место». Если бы существовало прозвище Горелко (от «горелка» — пьяница), то фамилия звучала бы как Горелков. Но написание Горелмков вместо Горелков — ошибка, слишком грубая для устойчивой фамилии. Скорее всего, в документах просто пропустили букву «ы» или неверно разобрали почерк писаря.

Таким образом, если вы встретили фамилию Горелмков в реальных источниках, проверьте её написание по метрическим книгам или ревизским сказкам. С вероятностью 90% предки ваши — не «горелмкие», а те самые Горемыковы, люди, чьё прозвище говорило о нелёгкой доле, но не о позоре. В крестьянской среде такие имена давали без злого умысла — как констатацию факта.