Фамилия Горынина — женская форма, а её основа — мужское прозвище Горыня. В русской традиции такие фамилии на -ин образовывались от слов, оканчивающихся на -а или -я: Горыня → Горынина. Если бы прозвище звучало иначе, скажем, Горынь, фамилия была бы Горынев.

Корень здесь — «гор-», и первое, что приходит в голову: Горыня из русских былин. В сказках это великан-богатырь, способный своротить гору. Так на самом деле могли прозвать человека недюжинной силы и роста — того, кто и в поле, и в драке мог «горы ворочать». Прозвище было уместным в крестьянской среде, где физическая мощь ценилась и сразу бросалась в глаза.

Но есть и более приземлённая версия. Прозвище Горыня могло указывать на место жительства — на горе, на возвышенности. В говорах «горыня» иногда значило «житель гор», «горец». Или, напротив, человека, жившего в пещере, в норе под горой — то есть отшельника или просто нелюдимого.

Третий вариант — географический. На западе Украины есть река Горынь (правый приток Припяти). Житель берегов этой реки или выходец из села на Горыни вполне мог получить прозвище Горыня, а его дети — фамилию Горынины.

Какая версия правдоподобнее? Для центральной России — скорее первая, былинная. Для западных областей — речная. Но в любом случае фамилия редкая и не массовая, что говорит о локальном происхождении: скорее всего, один род или несколько разрозненных семей, получивших прозвище независимо друг от друга.