Фамилия Гречишгикова — редкий случай, когда написание даёт больше загадок, чем произношение. Сразу бросается в глаза сочетание «шг», нехарактерное для русского языка. Вероятнее всего, это результат искажения при записи фамилии в документах. Исходная форма, судя по всему, Гречишкина или Гречишникова. Ошибка могла возникнуть из-за неразборчивого почерка или диалектного произношения — в некоторых говорах «шн» звучит как «шн» с призвуком, который на письме передали как «шг». Но есть и другая версия: в основе лежит слово «гречишник» — так в южных и центральных губерниях называли торговца гречкой или того, кто сеял и убирал эту крупу. Если же отталкиваться от суффикса «-ишк-», который часто давал пренебрежительный или уменьшительный оттенок, то «гречишка» — это просто мелкая, неказистая греча. Тогда прозвище Гречишка мог получить человек невысокого роста или с мелкой, «гречишной» внешностью — например, с веснушками, которые в народе называли гречкой.

По модели образования фамилия типична для русского севера и центра: суффикс «-ов» указывает на принадлежность («чей?»). Гречишгиков — сын Гречишки (или Гречишника). Окончание «-а» в вашем варианте — женская форма, то есть Гречишгикова — это либо жена, либо дочь Гречишгикова. Мужская форма, Гречишгиков, почти не встречается в современных справочниках, что только подтверждает версию об ошибке при переписи: скорее всего, фамилия бытовала в одном селе и закрепилась в искажённом виде у одной ветви рода.

Географически фамилия с корнем «греч-» тяготеет к югу России и Черноземью, где гречиху сеяли массово. Но если ваши предки записаны как Гречишгиковы, стоит проверить метрические книги Тамбовской, Воронежской или Курской губерний — там чаще всего встречаются похожие искажения. В любом случае, основа фамилии ясна: предок был связан с гречкой — либо растил её, либо торговал, либо просто носил прозвище по этой крупе. И то, и другое — обычная история для крестьянской фамилии, которая не требует красивых легенд.