Фамилия Грезев неоднозначна, и у неё есть как минимум три версии происхождения. Самая очевидная, но наименее вероятная — связь со словом «грезить», то есть мечтать. Скорее всего, Грезев — это фонетический вариант фамилии Грязев, возникший из-за акающего произношения. В основе тогда лежит прозвище Грязь, которое давали либо нечистоплотному человеку, либо тому, чья работа считалась «грязной»: красильщику тканей, кочегару, золотарю.

В пользу этой версии говорят исторические документы. В работах ономатолога С. Б. Веселовского упоминаются родственные прозвища и фамилии: Богдан Грязев, дьяк Лжедимитрия (1609 год); Иван Кириллович Грязев, московский дьяк (1624 год); Василий Ильич Грязной-Ильин (начало XVI века) и Юрий Васильевич Грязной-Ховрин (первая половина XVI века). Суффикс -ев в фамилии Грязев (и, соответственно, в Грезев) указывает на принадлежность потомку человека с прозвищем Грязь.

Вторая версия, напротив, отталкивается от слова «греза» в его прямом значении. В «Толковом словаре живого великорусского языка» В. И. Даля «греза» — это не только мечта или видение, но и «баловник, затейник, проказник, выдумщик». Так могли назвать человека с богатой фантазией, любителя рассказывать небылицы или того, кто говорит во сне. В этом случае фамилия указывает на особенности характера или поведения предка.

Есть и третья, менее распространённая гипотеза — о румынских корнях. Слово «grea» в румынском языке означает «орех», а «gresa» — «смазывать». Учитывая, что румынское и молдавское влияние исторически ощущалось на Украине и в южных областях России, носители фамилии Грезев могли происходить из этих регионов. Однако эта версия уступает первым двум по надёжности: документальных подтверждений перехода румынских основ в русские фамилии по модели Грезев крайне мало.

Таким образом, наиболее правдоподобно, что фамилия Грезев — это изменённое написание фамилии Грязев, образованной от прозвища, связанного либо с неопрятностью, либо с профессией предка.