Фамилия Гринкевич — редкий случай, когда написание заставляет заподозрить опечатку. Скорее всего, верный вариант — Гринкевич, и именно о нём пойдёт речь. Фамилия имеет чёткую белорусско-польскую словообразовательную модель: суффикс -евич указывает на отчество «сын такого-то». Основа — Гринк- — это, вероятнее всего, народная форма крестильного имени Григорий (от греческого «григорео» — бодрствующий, неспящий). В белорусском и украинском говорах имя Григорий сокращали до Гринь, Гринько, а вариант с «к» — Гринка — был вполне естественным.

Таким образом, Гринкевич — это «сын Гринки», то есть сын человека, которого в быту звали уменьшительным именем Гринка. Фамилия распространена в основном на территории современной Беларуси, а также в западных областях Украины и в Польше (где могла писаться как Grinkiewicz). В польском языке похожая фамилия Гринкевич (Hrynkiewicz) тоже восходит к имени Григорий, но с местной фонетикой.

Интересная деталь: суффикс -евич в этой фамилии не просто патроним, а маркер социального статуса. В Великом княжестве Литовском, куда входили белорусские земли, фамилии на -ович/-евич в XV–XVII веках носили в основном шляхта и зажиточные крестьяне. Простой люд чаще получал фамилии на -ёнок, -ук, -чик. Поэтому предок-носитель фамилии Гринкевич, скорее всего, был не крепостным, а человеком относительно свободным — возможно, мелким служилым дворянином, боярином или состоятельным мещанином. Встречается и польская версия происхождения — от прозвища «гринка», которое могло означать «зеленщик» (торговец зеленью) или относиться к человеку с зеленоватым оттенком кожи (например, из-за болезни), но она менее вероятна: имя Григорий — гораздо более частый источник.

Если ваша фамилия именно «Гринкеыич», это, скорее всего, ошибка переписчика или неверная транслитерация. Ищите корни в Беларуси или на западе Украины — там фамилия Гринкевич встречается чаще всего.