Фамилия Грицай-Богданов — двойная, составная. Такие фамилии обычно возникали, когда нужно было сохранить память о двух ветвях рода или закрепить за потомками прозвище предка и его официальную фамилию. В этом случае первая часть, Грицай, указывает на личное имя или прозвище, вторая, Богданов, — на отчество или родовое имя.

Грицай — украино-белорусская просторечная форма канонического мужского имени Григорий. Имя Григорий пришло из греческого языка и означает «бодрствующий», «неспящий». В народной среде имя быстро обрастало сокращёнными вариантами: Гриць, Грицко, Грицай. Суффикс -ай характерен для украинской и белорусской антропонимии: он образует ласкательные или обиходные формы имён (Михай, Степай, Данилай). Таким образом, человек по прозвищу Грицай — это Григорий, которого в быту звали сокращённо.

Вторая часть — Богданов. Фамилия Богданов образована от мужского имени Богдан. Это имя пришло в русский язык из Болгарии и представляет собой кальку с греческого Теодор (Фёдор) или Дорофей: буквально «данный богом». В отличие от Грицай, которое могло быть прозвищем, Богдан — полное, хоть и неканоническое имя. В православных святцах его нет, но на Руси оно было распространено как мирское, особенно в южных и западных землях. Фамилия Богданов — типичная патронимическая: «сын Богдана».

Двойные фамилии с дефисом в украинской и южнорусской среде часто носили казацкие старшины, духовенство или мелкопоместные дворяне. Вторая часть (Богданов) могла закрепиться как родовое имя по отцу или деду, а первая (Грицай) — как прозвище, которое по какой-то причине не хотели терять. Возможно, предок носителя фамилии был известен в округе именно как Грицай, а его сын или внук уже записался по отцу — Богданов. Чтобы не путать с однофамильцами, объединили оба варианта.

С точки зрения словообразования, обе части фамилии — типичные для восточнославянской модели: основа от имени + суффикс принадлежности (-ов). Исключение — сам корень Грицай: он не имеет суффикса, а является усечённой формой. Это делает фамилию Грицай-Богданов редкой по структуре: одна часть — прозвищная без патронимического суффикса, другая — классическая отчество.

Встречается такая фамилия преимущественно в Украине, на юге России и в Беларуси. Среди носителей нет широко известных исторических фигур, зафиксированных в энциклопедиях, что типично для двойных фамилий, возникших не в дворянской среде, а в крестьянской или казацкой. Если вам попадались документы с этой фамилией, скорее всего, они относятся к XIX — началу XX века и связаны с Черниговской, Полтавской или Харьковской губерниями.