Фамилия Грозинская — вариант в женском роде, мужская форма — Грозинский. Эта фамилия относится к «географическому» типу: её основа, скорее всего, связана с названием населённого пункта. Такие фамилии на -ский/-ской обычно указывали на владельческое или родовое поместье, а в более позднее время — на место рождения или проживания предка.

От какого именно топонима произошла фамилия, сказать сложно, потому что в славянском мире немало мест с корнем «гроз-»: деревни Грозино, Грозна, Грозово, а также город Грозный. Но если отталкиваться от формы «Грозинская», наиболее вероятна связь с селом или деревней Грозино (например, Грозино в Витебской области Беларуси или Грозино в бывшей Черниговской губернии). Вариант с городом Грозный дал бы фамилию «Грозненский», а не «Грозинский», поэтому он менее правдоподобен.

Основа «гроз-» восходит к древнерусскому «гроза» — в переносном смысле это могло означать «грозный человек», «суровый воин», но применительно к топониму, скорее всего, указывало на характеристику места: опасное, болотистое, или, наоборот, связанное с культом Перуна (громовержца). В польской ономастике есть фамилия Groziński, которая могла возникнуть от прозвища «Gróza» (страх, ужас) или от названия усадьбы Грозина.

Фамилия Грозинская — не массовая, но и не единичная. Встречается в основном среди потомков шляхты и духовенства западных губерний Российской империи (Витебская, Могилёвская, Киевская), где фамилии на -ский были особенно распространены. В советское время могла появиться и у крестьян, получивших фамилию при паспортизации по названию родной деревни.

Коротко: если вы Грозинская, ваш предок, вероятно, жил в местечке с корнем «гроз-» или владел им. Фамилия — не прозвище по характеру, а указание на малую родину, что типично для дворянских и полукрестьянских фамилий польско-белорусского пограничья.