Фамилия Илюкевич образована от имени Илюка — просторечной, «домашней» формы канонического имени Илья. Илья, в свою очередь, восходит к древнееврейскому имени Элияху, которое переводят как «Господь мой — Бог». Таким образом, Илюкевич буквально означает «сын Илюки», то есть потомок человека, которого в быту звали уменьшительно-ласкательным Илюка.

Словообразовательная модель здесь прозрачна: суффикс -евич (в более раннем, белорусском и польском варианте -кевич) присоединился к основе Илюк-. Это типичный патроним — отчество, которое со временем закрепилось как фамилия. В русской традиции такие фамилии на -евич характерны для западнорусских земель, особенно для территории современной Беларуси и Украины, где они были распространены среди шляхты и мещан. В Великороссии, напротив, преобладали фамилии на -ов и -ин.

Имя Илья — одно из самых частотных в православном и католическом календаре, поэтому производных от него фамилий множество: Ильин, Ильюшин, Илькевич, Ильченко. Илюкевич стоит в этом ряду особняком благодаря редкой основе Илюк-. В старых документах встречаются варианты написания — Илюкевич и Илюкевичъ, но в современном русском языке закрепился первый. Если ваши предки носили эту фамилию, велика вероятность, что они происходят из западных регионов Российской империи, где польская и белорусская ономастика смешивалась с русской.