Фамилия Иванайская звучит как типичная «географическая» фамилия, и это первое, что бросается в глаза. Суффикс -ск- (-ская) в русских фамилиях обычно указывает на происхождение от названия места: села, деревни, усадьбы. Владелец такой фамилии, скорее всего, был либо помещиком, владевшим этим местом, либо выходцем оттуда. В основе фамилии лежит некалендарное или производное имя — в данном случае, скорее всего, вариант имени Иван. Но не прямой, а с добавлением суффикса -ай, который в русских говорах часто образовывал уменьшительные или пренебрежительные формы: Иванай — «маленький Иван», «Иванушка», или же просторечное обращение к человеку по имени Иван.

Географическая привязка здесь ключевая. Фамилия Иванайская почти наверняка происходит от названия населённого пункта — деревни Иванай или Иванаи. Такие названия встречаются в западных и северо-западных регионах России, а также в Беларуси и на Украине. Например, в Псковской области есть несколько деревень с похожими названиями (Иванайково, Иванаи). Если фамилия образована от названия села, то её носитель — потомок человека, который либо владел этим селом (дворянин, получивший фамилию по вотчине), либо просто жил там и при переписи получил прозвище по месту жительства. Второй вариант более распространён для крестьян и мещан, особенно после отмены крепостного права, когда многие брали фамилии по названию родной деревни.

Словообразовательная модель проста: основа Иванай- + суффикс -ск- + окончание -ая. В мужском роде фамилия выглядела бы как Иванайский. Интересно, что суффикс -ай в основе встречается нечасто — это не стандартное -ов/-ев, а более редкий формант, что делает фамилию заметной среди массы «ивановских» производных. По сословной принадлежности однозначного ответа нет: фамилия могла принадлежать и мелкопоместным дворянам (если они владели деревней Иванаи), и крестьянам, переселившимся в город и записавшимся по месту рождения. Второй вариант, учитывая распространённость топонимических фамилий среди непривилегированных слоёв, кажется более вероятным.

Таким образом, если вы носите фамилию Иванайская, ваши предки, скорее всего, происходили из деревни с названием, образованным от имени Иван. Это типичная «адресная» фамилия, которая не говорит о ремесле или характере предка, а привязывает его к конкретному месту на карте.