Фамилия Качабеков — один из тех случаев, когда корень слова выбивается из привычного славянского ряда. Сразу видно, что основа здесь не русская, а тюркская, и суффикс -ов указывает на обрусевшую форму, которая закрепилась в документах, скорее всего, в XIX — начале XX века.

Разбираем по частям. Первая часть «Кача» — это либо усечённое личное имя, либо прозвище. В тюркских языках (особенно в кумыкском, азербайджанском, ногайском) слово «кач» или «кача» может означать «убегай», «беглец», «избегающий». Вторая часть — «бек» — классический тюркский титул, обозначающий князя, господина, предводителя. Получается смысловая конструкция «бек, который избегает» или «беглый бек». Звучит необычно, но в кочевой и полукочевой среде такие прозвища давали не в обиду, а по обстоятельствам: например, человеку, который ушёл из рода или избежал плена.

Есть и более прозаичная версия: «Кача» могло быть диалектным вариантом имени Качи или Кач, которое в некоторых тюркских языках означает «крепкий», «сильный». Тогда Качабек — это «крепкий бек», «сильный господин». В любом случае, фамилия указывает на знатное происхождение предка — он был беком, то есть относился к привилегированному сословию у народов Кавказа или Поволжья.

Географически фамилия тяготеет к Дагестану и Чечне, встречается среди кумыков, а также у азербайджанцев. В Россию она попала вместе с процессом русификации имён: когда тюркские «оглы» и «заде» заменяли на стандартные русские суффиксы. Поэтому Качабеков — это не исконно русская фамилия, а поздняя адаптация, которая сохранила память о социальном статусе предка и, возможно, о каком-то событии, заставившем его бежать или скрываться.

Интересная деталь: суффикс -ов здесь работает как стандартный патронимический, но в тюркской среде он часто указывал на то, что носитель уже не кочевник, а оседлый житель, записанный в ревизские сказки или метрические книги. Так что Качабековы — это потомки тех, кто перешёл к оседлой жизни, сохранив в фамилии и титул, и прозвище своего родоначальника.