Фамилия Качегова в её современном виде — женская форма, а её основа — мужская фамилия Качегов. Это отчество второго порядка, то есть образованное от имени или прозвища отца через суффикс -ов. Разберёмся, что могло лежать в основе.

Самая вероятная версия: прозвище Качег. В русских говорах слово «качег» или «кочег» означало «кочерга» — инструмент для перемешивания углей в печи. Прозвище могли дать либо кузнецу, который ковал кочерги, либо человеку с чёрными от сажи руками или тёмными волосами (по ассоциации с цветом обгоревшего железа). Такие «печные» прозвища были распространены: вспомните фамилии Кочергин, Угольков, Заслонкин. Суффикс -ов указывает на принадлежность: «сын Качега». Так что предок носительницы фамилии, скорее всего, был человеком, так или иначе связанным с печным ремеслом или получившим меткое уличное прозвище.

Вторая, менее вероятная версия — от тюркского имени или слова. В татарском языке есть слово «качкын» (беглец), но фонетически ближе «качак» (беглец, уклоняющийся). Однако переход «качак → качег» требует дополнительных диалектных изменений, которые неочевидны. Ономасты обычно не фиксируют такую цепочку для фамилии Качегов, поэтому версия с кочергой выглядит убедительнее.

Географически фамилия редкая, встречается в основном в центральных и южных регионах России, особенно в Воронежской и Ростовской областях, а также в Поволжье. Это косвенно подтверждает «печную» версию: в чернозёмной полосе русские печи были основой быта, и прозвища от утвари давали часто.

Любопытная деталь: в старых документах фамилия могла писаться через «о» — Кочегов. Чередование «о/а» в безударной позиции — обычное явление для русских фамилий, закреплённое в паспортах уже в XX веке. Так что если встретите в архивах Кочегова — это, скорее всего, тот же род.