Фамилия Каренина, которую вы ищете, — это вариант мужской формы Каренин. В её основе лежит прозвище или нецерковное имя Карена. Скорее всего, так называли человека по цвету волос или кожи: от прилагательного «карий» (тёмно-коричневый, цвет глаз или масти). Следовательно, Кареной могли прозвать смуглого или кареглазого человека. Интересно, что в чувашском языке есть слово «карен» — «светло-рыжий», так что версия с рыжиной тоже имеет право на существование и даже добавляет географический оттенок: фамилия могла закрепиться в Поволжье.

Менее убедительна гипотеза, собирающая фамилию из коми-пермяцких корней: «кар» (город) и «ен» (бог). Слово «Карена» не похоже на типичное составное прозвище в этой языковой среде, поэтому версия выглядит натянутой. Ещё одно предположение выводит имя из арабского Карим (щедрый, великодушный), превратившегося в Карен через тюркское посредничество. В таком случае фамилия могла принадлежать потомкам человека, которого назвали в честь этих качеств.

Фамилия образована по стандартной русской модели с суффиксом -ин, который указывает на принадлежность: «чей?» — Каренин, то есть сын или потомок Карены. В отличие от фамилий на -ов/-ев, которые чаще встречаются у великорусов, фамилии на -ин тоже очень распространены, но иногда указывают на основу женского рода или прозвище на -а/-я. Карена — именно такая основа.

О точном времени и месте возникновения фамилии говорить сложно: процесс шёл веками, и единичные упоминания могли появиться в разных регионах независимо. Тем не менее, Каренины — это не просто литературный вымысел Льва Толстого (хотя писатель выбрал фамилию для героя не случайно, обыграв «карий» и «карету»). Реальные Каренины существовали в русской провинции, и их фамилия — живое напоминание о том, как внешность или пожелание предка стали родовым именем.