Фамилия Катько — яркий пример белорусской модели фамилии, которая режет слух русскому уху своей «неправильной» формой. В русском языке фамилии на -ко обычно заканчиваются на -ов или -ин (Петренко — Петренков), но в Беларуси и на востоке Польши суффикс -ко стал самостоятельным фамильным окончанием, не склоняемым и не требующим наращения.

Корень здесь — Катьк-. Основа, скорее всего, производная от имени Катя (Екатерина) через уменьшительную форму Катька. В белорусской и украинской традициях суффикс -к- в именах был обычным делом: Катька, Марийка, Ганька. Но фамилия образована не напрямую от крестильного имени, а от прозвища. Человека могли прозвать Катькой — и это не обязательно женское имя. В народной среде Катькой нередко дразнили мужчину за мягкий характер, любовь к сплетням или женоподобные манеры. Могли дать ироничное прозвище и за то, что парень или мужик слишком часто вертелся возле баб или ухаживал за девками. Так что носитель фамилии Катько — потомок того, кого в деревне окрестили «Катькой» за какие-то черты поведения.

Есть и вторая версия, более прозаичная. В некоторых говорах «катька» означала «маленькая кадка», «бочонок». Прозвище могли дать коренастому, приземистому человеку. Но эта версия слабее: слово редкое, а имя Катерина — одно из самых распространённых в народе, так что антропонимический путь вероятнее.

Фамилия почти целиком осела в Беларуси и на приграничных территориях России (Смоленщина, Брянщина). Встречается и у украинцев, но реже. Суффикс -ко здесь не уменьшительно-ласкательный, а именно фамильный, застывший в именительном падеже. Такие фамилии не склоняются: «Иван Катько», «у Ивана Катько».

Интересная деталь: в дореволюционных метрических книгах фамилию могли записать как Катьков, но носители в Беларуси отбрасывали окончание -ов, сохраняя местную форму. Если ваш предок — Катько, то с большой вероятностью он был крестьянином или мещанином из западных губерний Российской империи, где белорусский язык и традиция именования сохранялись даже в официальных документах.