Фамилия Кауниди — одна из тех, что сразу выдают греческое происхождение. Её выдают суффикс -иди, типичный для фамилий греков Причерноморья и Понта. В греческом языке суффикс -ίδης (-idis) означает «сын» или «потомок», то есть фамилия строится по отческой модели: Кауниди — это «сын Кауна». В русской передаче конечное -с отпало, и фамилия закрепилась в форме Кауниди, которая не склоняется.

Основа фамилии — личное имя или прозвище Каунас (греч. Καύνας). Точное значение имени неочевидно. Самая прямая версия — топонимическая: в античной Малой Азии существовал город Кавн (Caunus) в Карии, на юго-западе современной Турции. Жителя этого города называли кавнийцем, откуда и могло пойти прозвище, а затем и фамилия. Менее распространённая версия связывает основу с греческим словом καῦνος (kaunos) — «жаркий, знойный», но это скорее эпитет, а не личное имя.

В Российской империи фамилия Кауниди встречается почти исключительно у греков, переселившихся из Османской империи в конце XVIII — XIX веках. Основные регионы расселения — Крым, Приазовье (Мариуполь, Таганрог), Новороссия и юг Бессарабии. В советских переписях фамилия остаётся редкой и компактной: большинство носителей живут на юге России и в Грузии (в Абхазии и Аджарии, где были греческие общины). Родственные фамилии того же типа — Каунов, Кауновский (русифицированные формы) и Каунакис (греческий вариант с другим суффиксом).

Таким образом, предки носителя фамилии Кауниди — скорее всего, греки-понтийцы или малоазийские греки, переселившиеся в Причерноморье. Фамилия не указывает на конкретное ремесло или сословие, а лишь на происхождение от человека по имени или прозвищу Каунас, возможно, связанного с древним городом Кавн.