Фамилия Кавашев — редкий случай, когда основа, скорее всего, не русская, а тюркская или кавказская, но оформлена она по стандартной русской модели. Суффикс -ев указывает на принадлежность: «чей?» — Кавашев, то есть сын или потомок человека по прозвищу или имени Каваш. В русской традиции такой суффикс обычно присоединялся к основам на мягкий согласный или шипящий, что в данном случае и произошло.

Самое вероятное объяснение корня лежит в тюркских языках. Слово «каваш» (или «каваш») в ряде тюркских наречий означает «кожевник», «дубильщик кож» или «сапожник». Это ремесленное прозвище, которое давали человеку, работавшему с кожей. В среде татар, башкир или других тюркских народов такое прозвище было естественным, а при переходе в русскую среду или при записи в документах оно получило русский суффикс и стало фамилией Кавашев. Таким образом, предок носителя этой фамилии мог быть мастером по выделке кож или изготовлению кожаной обуви.

Менее распространенная, но возможная версия — происхождение от личного имени или прозвища Каваш, которое могло быть связано с кавказскими языками, например, с аварским или кумыкским. Встречается также схожее слово «каваш» в значении «гость» или «пришелец» в некоторых диалектах, но эта версия слабее, так как не подтверждена массовостью. Географически фамилия встречается в основном в регионах Поволжья (Татарстан, Башкирия) и на Северном Кавказе, что косвенно подтверждает тюркскую или кавказскую основу.

С точки зрения словообразования, фамилия не содержит дополнительных формантов вроде -ин или -ский, что типично для относительно позднего оформления фамилий у нерусских народов, которые брали фамилию по отцу или по прозвищу. Двойников вроде «Кавашов» (с твёрдым окончанием) почти не встречается, что говорит о фиксации именно мягкого варианта основы. Если вы встретите написание «Ковашев» — это, скорее всего, результат аканья (произношения «о» как «а»), но не отдельная фамилия.