Фамилия Кавтрев — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. Скорее всего, это фонетический вариант более распространённой фамилии Кавтарев. Если отбросить притяжательный суффикс -ев, указывающий на принадлежность («чей?» — сын Кавтаря), в основе оказывается прозвище Кавтарь.

Это прозвище, по всей видимости, связано с персидским словом «кафтан» — верхней долгополой мужской одеждой. На Руси слово бытовало в фонетическом варианте «кавтан». Отсюда прямой путь к профессиональному прозвищу: Кавтарем могли называть портного, который шил кафтаны. Такие именования по ремеслу были обычны в среде посадских людей и крестьян, где фамилии закрепились позже, чем у знати.

Есть и другая версия, менее вероятная, но не лишённая оснований. В таджикском языке есть мужское имя Кафтар, которое переводится как «голубь». Если предок носителя фамилии был выходцем из Средней Азии, прозвище могло произойти от этого имени. Однако для русской фамильной модели, где преобладают славянские или греческие корни, связь с одеждой выглядит более естественной.

Обратите внимание на суффикс -ев, а не -ов. Правило простое: если основа прозвища оканчивалась на мягкий согласный или на -й, в фамилии появляется -ев. Кавтарь даёт именно Кавтрев (через промежуточную форму Кавтарев). Встречается и написание Кавтарев — это не ошибка, а исходный, полный вариант.