Фамилия Кайбаков — одна из тех, где разбор упирается не в славянский корень, а в тюркское прозвище. Основа здесь — «кайбак», и это слово стоит разобрать подробнее, потому что от него расходятся две правдоподобные версии.

Первая и самая вероятная: «кайбак» — диалектный тюркский вариант слова «кабак» (тыква). В тюркских языках «кай» может быть усилительной приставкой или частью сложного слова, а «бак» — «смотри» или «сажай». Но в ономастике под «Кайбаком» чаще понимали либо прозвище по внешности — круглый, полный человек, — либо по занятию: тот, кто выращивал тыквы или торговал ими. Вторая версия: «кайбак» — искажённое «кайып-бак» (смотри в тайне), то есть прозвище наблюдательного, скрытного человека. Однако эта гипотеза слабее: она не подтверждается устойчивыми формами в старых документах.

Суффикс «-ов» указывает на стандартную русскую модель образования фамилии от отчества или прозвища: Кайбак → сын Кайбака → Кайбаков. Такие фамилии массово возникали у крестьян и служилых людей в XVI–XVII веках, когда тюркские имена и прозвища активно входили в русский обиход через татарскую, башкирскую и ногайскую среду.

Географически фамилия Кайбаков встречается в Поволжье и на Южном Урале — в Татарстане, Башкортостане, Оренбургской области. Это типичный ареал, где русские фамилии с тюркской основой оседали у крещёных татар, мишарей или башкир, перешедших в православие. В дореволюционных переписях носители фамилии числились чаще среди государственных крестьян, реже — среди мещан.

Сравнение с однокоренными фамилиями — Кабаков, Кайбаров, Кайбуллин — показывает, что «Кайбаков» стоит несколько особняком. У «Кабакова» основа очевидна (кабак как заведение или тыква), у «Кайбуллина» — арабское имя с тюркским оформлением, а вот «Кайбаков» сохраняет редкий диалектный вариант, который не превратился в более частотный «Кабаков». Это может говорить о том, что фамилия закрепилась в конкретном селе или роду, где прозвище имело узкое хождение.

Если ваш предок был Кайбаковым, он, скорее всего, происходил из крестьянской семьи, получившей прозвище от внешности или занятия, и жил на территории современного Татарстана или Башкортостана. Точнее сказать без генеалогического поиска по конкретному региону сложно — слишком многое зависит от того, в какой губернии застала фамилию ревизская сказка.