Фамилия Кайда чаще всего ведет происхождение от украинского слова «кайдани» — «кандалы». Прозвище Кайда могли дать заключенному или каторжнику, что делает эту версию самой прямой и бытовой. Слово «кайдани» прочно связано с историей запорожского казачества и подневольного труда, поэтому фамилия могла закрепиться за человеком, который либо отбывал наказание, либо имел к этому отношение — например, был сторожем или надзирателем.

Менее убедительна версия, возводящая фамилию к рязанскому слову «кай» — «обет, зарок, договор». Если принять эту гипотезу, Кайдой могли прозвать участника коллективной сделки или торговца, который заключал уговоры. Однако слово «кай» — диалектное и узкорегиональное, поэтому его влияние на формирование фамилии сомнительно. Еще слабее связь с турецкими словами «kayde» («летний дождь») и «kayac» («скала, утес»): тюркские заимствования в украинских и русских фамилиях встречаются, но в данном случае они не подкреплены ни географией, ни устойчивой традицией прозвищ.

По модели образования фамилия относится к типу безсуффиксных — от прозвища, которое совпало с нарицательным словом. Такие фамилии (Кайда, Голота, Швачка) характерны для украинской ономастики и нередко указывают на социальный статус или род занятий первого носителя. В русских говорах фамилия Кайда встречается редко, что тоже склоняет чашу весов в пользу украинского корня.

Географически фамилия чаще всего фиксируется на территории Украины и в южных регионах России, куда переселялись казаки и крестьяне. Встречается также вариант Кайдаш — с суффиксом -аш, который усиливает прозвищное значение. Если ваши предки носили фамилию Кайда, скорее всего, они происходили из среды, где помнили о кандалах и каторге, — либо как реальные каторжники, либо как люди, связанные с тюремным делом.