Фамилия Кайырбеков — хороший пример того, как русская модель оформления фамилий (суффикс -ов) накладывается на тюркское личное имя. Разбирать её стоит не с корня, а с конца: суффикс -ов указывает на принадлежность («чей?» — Кайырбеков, то есть сын или потомок Кайырбека). Сама основа — составное тюркское имя Кайырбек, которое широко распространено у казахов, киргизов, отчасти у узбеков и каракалпаков.

Имя Кайырбек двукоренное. Первая часть, «Кайыр» (варианты: Қайыр, Каир), восходит к арабскому «хайр» — благо, добро, благодеяние. В тюркских языках это слово закрепилось в значении «милость», «щедрость», «польза». Вторая часть — «бек» (тюрк. «bey», «biy») — титул, означающий «господин», «князь», «предводитель». В составе личных имён «бек» часто выполнял функцию пожелания или обозначения статуса: «благородный», «господин». Таким образом, Кайырбек буквально переводится как «щедрый господин» или «благодетельный бек».

Словообразовательная модель фамилии — классическая для русского языка: к тюркскому имени добавили русский патронимический суффикс -ов. Это типично для фамилий, возникших в среде казахской и киргизской знати или зажиточных крестьян в XIX — начале XX века, когда при проведении переписей и паспортизации тюркские имена русифицировали по шаблону. Интересно, что в самой казахской среде фамилия могла бы звучать как Кайырбеков или Кайырбекұлы (сын Кайырбека), но русский суффикс закрепил её в документах.

По географии фамилия Кайырбеков — преимущественно казахстанская и киргизстанская. В России она встречается редко, в основном в регионах с большим притоком мигрантов из Средней Азии или у потомков казахских переселенцев (например, в Оренбургской, Астраханской областях). Встречаются варианты написания с одной «ы» — Кайырбеков (такой вариант ближе к киргизской орфографии) или через «и» — Каирбеков, но последний менее точен фонетически.

Социальная история фамилии проста: предки носителя Кайырбекова, скорее всего, были людьми не бедными, раз в имени фигурировал титул «бек». В кочевой среде «беками» называли старшин родов или зажиточных скотоводов. Однако со временем имя стало популярным и у простых людей как пожелательное — чтобы ребёнок вырос щедрым и уважаемым. Поэтому не стоит искать в фамилии обязательно дворянское происхождение: в XIX веке «бек» в имени мог быть данью традиции, а не реальным статусом.