Фамилия Казаренко звучит как типичная украинская, и это действительно так: её выдают суффикс -енко и корень, связанный с тюркским словом «казак». В украинской традиции -енко — это патронимический суффикс, означающий «сын» или «потомок». Буквально Казаренко — «сын казака», «казачий сын». В отличие от русских фамилий на -ов/-ев, которые часто указывали на принадлежность отцу (чей?), украинская модель -енко подчёркивает именно родство: кем был твой отец.

Основа «Казар-» — это не искажение и не ошибка. В украинских говорах слово «козак» (казак) могло произноситься и писаться через «а» в первом слоге, особенно под влиянием польского или южнорусских диалектов. Вариант «Казар» встречается в прозвищах и фамилиях, например, Казар, Казарин, Казаров. Так что Казаренко — это не «сын казака», а именно «сын Казаря», то есть человека, которого прозвали Казарем. Такое прозвище давали либо запорожскому казаку, либо вольному, независимому человеку, либо тому, кто служил в казачьем войске. Фамилия фиксирует не национальность, а социальный статус или род занятий предка.

Географически фамилия Казаренко распространена прежде всего на востоке и юге Украины — в Харьковской, Полтавской, Днепропетровской областях, а также в прилегающих областях России, куда переселялись украинцы. Встречается и в Беларуси, но реже. Интересно, что фамилия не получила широкого распространения среди донских казаков — там преобладали фамилии на -ов. Это косвенно подтверждает, что её носители происходят из среды «городовых» казаков или реестровых, а не из вольных общин.

Менее вероятная, но возможная версия связывает корень с тюркским словом «казыр» (строгий, суровый) или «хазар» (хазарин). Однако в русской и украинской ономастике такие гипотезы обычно уступают более простому и очевидному объяснению через «казак». Тем более что фамилия Казаренко имеет однокоренные параллели: Казарцев, Казарский, Казарнов, — и все они тяготеют к той же основе.

Если ваш предок носил фамилию Казаренко, скорее всего, он был потомком человека, которого в XVIII–XIX веках называли «казарем» — либо за службу, либо за характер, либо за происхождение из казачьей семьи.