Фамилия Киварков — редкая и морфологически прозрачная, но с неочевидной основой. Суффикс -ов указывает на типичную русскую патронимическую модель: так образовывали фамилии от личных имён или прозвищ, отвечая на вопрос «чей?» — чей сын? Киварков. Центральный вопрос — что скрывается в корне «Киварк-».

Самая вероятная версия — происхождение от армянского имени Кеворк (Геворк), которое в русской традиции нередко записывали на слух как «Киварк». Кеворк — это армянская форма имени Георгий, то есть «земледелец». Если предок носителя фамилии был армянином или имел армянские корни, его могли записать в документах как Киварка (или Киварко), а его сыновья уже стали Киварковыми. В пользу этой гипотезы говорит и то, что фамилии на -ов от армянских имён в XIX веке не редкость на юге России и в Закавказье, где шла активная русификация фамилий.

Есть и другая, менее распространённая версия — связь с греческим именем Кириак (Кирик), которое в просторечии могло звучать как «Киварк» через чередование согласных. Однако такое преобразование фонетически менее естественно для русского языка, чем адаптация армянского имени.

Географически фамилия Киварков встречается крайне редко. Основные очаги — Ростовская область, Ставропольский и Краснодарский края, а также единичные случаи в центральной России. Это косвенно подтверждает южное, возможно, армянское происхождение, так как именно в этих регионах исторически сложились крупные армянские общины (Нахичевань-на-Дону, Армавир).

Словообразовательная модель проста: основа «Киварк» + патронимический суффикс -ов. Ударение, скорее всего, падает на второй слог: Кива́рков. В дореволюционных метрических книгах фамилию могли записывать через «о» на конце (Киварко́в), но современная норма фиксирует форму с ударной основой.

Таким образом, носитель фамилии Киварков с высокой вероятностью — потомок человека по имени Кеворк (Георгий), чью фамилию русифицировали при переходе в русскую среду. Другие версии (от прозвища, от профессии) не находят подтверждения в доступных источниках.