Фамилия Кивакова — женская форма от Киваков, и её разбор стоит начать с мужского варианта, чтобы понять основу. В русских фамилиях суффикс -ов/-ев указывает на принадлежность: Киваков буквально значит «сын Кивака» или «человек из рода Кивака». А вот что такое сам Кивак — здесь открывается простор для версий.

Наиболее вероятное объяснение: Кивак — это прозвище, образованное от глагола «кивать» или существительного «кивок». В говорах «кивалой» могли называть человека, который часто кивает, поддакивает, или, наоборот, того, кто ходит, покачивая головой. В некоторых диалектах «кивака» — это ещё и болтун, пустомеля (от «кивать языком»). Прозвища по манере поведения — распространённый источник русских фамилий, и здесь нет ничего необычного.

Менее убедительная, но возможная версия — связь с тюркскими корнями. В казахском и татарском языках есть слово «кивак» (или «кияк») в значении «ковыль», «сухая трава». Если предок был родом из степных регионов, его могли прозвать по месту жительства или занятию (например, косарь ковыля). Однако эта гипотеза слабее: фамилия Киваков встречается в основном в русскоязычной среде, и её фонетика типична для славянского прозвища.

Суффикс -аков (а не -ов) встречается реже, но он не меняет смысла: это вариант того же патронимического суффикса, закрепившийся в некоторых регионах, особенно на юге России и в Поволжье. Если смотреть географию носителей, Киваковы чаще всего фиксируются в Саратовской, Волгоградской и Ростовской областях — там, где пересекались славянские и тюркские влияния, что добавляет веса второй версии, но не делает её основной.

Фамилия не относится к дворянским или старинным боярским родам. Скорее всего, она возникла в среде крестьян или мещан в XVII–XIX веках, когда прозвища переходили в официальные фамилии. В документах Киваковы нередко записаны как однодворцы или государственные крестьяне — люди, которые несли службу на южных границах. Так что предки носителя фамилии могли быть либо разговорчивым соседом, которого за глаза звали Кивакой, либо жителем приволжских степей, где ковыль — привычный пейзаж. Выбирать читателю, но первая версия выглядит надёжнее без натяжек.