Фамилия Киваркова — женская форма редкой фамилии Киварков, и её разговор стоит начать с суффикса. Модель на -ов/-ев в русских фамилиях стандартна: она указывает на принадлежность к главе семьи. То есть Киваркова — это «жена Киваркова» или «дочь из рода Киварковых». Но здесь интереснее основа, а не окончание.

Корень «Киварк» — неочевидный. В русском языке нет слова «киварка» или «киварок» с бытовым значением. Вероятнее всего, фамилия восходит к личному имени или прозвищу. Можно предположить, что в основе лежит крестильное имя Киприан (в народной форме Куприян, Киприян), которое в диалектах могло сократиться до Киварк. Подобные стяжения — обычное дело: из Иван получается Ваня, из Киприан — Кива, Кивар. Суффикс -к- в таком случае — уменьшительно-ласкательный, как в Петька, Митька. Тогда Киварк — это человек по имени Киприан, а его потомки стали Киварковыми.

Другая версия, менее вероятная, но возможная: связь с тюркскими или финно-угорскими языками, где «кивар» может означать что-то вроде «камень» или «скала» (сравните с коми-пермяцким «кыв» — «язык» или марийским «кувар» — «мост»). Но для русской фамилии такое заимствование редкость, и географических подтверждений почти нет.

Что касается географии, фамилия Киварков встречается точечно — в основном в центральных регионах России и в Поволжье, что косвенно поддерживает версию с Киприаном: имя было популярно в крестьянской среде, особенно в XIX веке. Сословно — почти наверняка крестьянское происхождение: фамилия не звучит как дворянская или купеческая из-за простонародной модели образования.

Коротко: Киваркова — это «дочь или жена Киварка», где Киварк, скорее всего, домашняя форма имени Киприан. Фамилия редкая, но прозрачная по словообразованию, хотя корень и требует реконструкции.