Фамилия Кивацков — редкий пример, где географическая привязка оказывается чётче этимологии. Скорее всего, перед нами украинская или южнорусская фамилия, образованная по стандартной модели «основа + -ов», но с неочевидным корнем.

В основе лежит прозвище или имя Кивацко. Суффикс -цк- в украинской ономастике часто указывает на уменьшительность или принадлежность к местности (сравните с фамилиями на -цкий). В данном случае Кивацко могло быть производным от глагола «кивать» — так могли назвать человека с привычкой покачивать головой, либо того, кто постоянно кивал в знак согласия. В украинских говорах «кива́ти» имеет те же значения, что и в русском, но с более широким спектром: «махать», «качать». Прозвище Кивало или Кивач встречается в старых запорожских реестрах.

Вторая, более спорная версия — связь с диалектным словом «кива́к» (болото, топь, или же «клюв» у птиц в некоторых говорах). Тогда Кивацко — человек, живущий у болота, либо обладатель длинного носа. Однако эта гипотеза слабее, так как не подтверждается массовыми примерами в фамилиях соседних регионов.

Сам суффикс -ов в фамилии Кивацков — типичный русский патронимический формант, означающий «сын Кивацко». Окончание -ов вместо украинского -енко или -ук указывает на то, что фамилия закрепилась уже в русской среде, возможно, после переселения носителей из Черниговщины или Полтавщины в центральные губернии России. Встречаемость фамилии сегодня крайне низкая, что говорит о локальном происхождении — от одного конкретного рода, а не от массового прозвища.