Фамилия Кивилев — редкий случай, где этимологию не получается вывести одним способом. На первый взгляд, в ней просматривается финно-угорский след: основа «киви» в карельском, вепсском, финском языках означает «камень». В таком варианте Кивилев — это «каменщик» или человек, живший у камня, на каменистой почве. Для северных и северо-западных губерний России, где финноязычное население веками соседствовало с русским, подобные прозвища — не редкость, и суффикс -ев превращает такое прозвище в стандартную русскую фамилию.

Но есть и вторая версия, не менее правдоподобная. В русских говорах «кивила», «кивела» — пренебрежительное название килы, грыжи или болезненной опухоли. Ономаст Б. Унбегаун в «Русских фамилиях» не раз указывал, что многие фамилии произошли от прозвищ по болезни или физическому недостатку. Кивилой могли прозвать человека, страдавшего грыжей, или же того, кто лечил такие недуги — народного костоправа. В этом случае фамилия Кивилев — отчество второго порядка: сын Кивилы, то есть «Кивилев».

Модель образования проста: основа на -а/-я (Кивила) даёт притяжательное прилагательное с суффиксом -ев. Такая схема типична для прозвищных фамилий центральной России. Сравните с однокоренными: Кивин, Кивинский — они могли возникнуть из того же источника, но в разных регионах и с разными суффиксами. Кивилев же стоит особняком — он явно указывает на конкретное лицо, Кивилу, а не на абстрактный признак.

Географически фамилия тяготеет к северо-востоку: в переписях XIX века Кивилевы встречаются в Вятской, Пермской, отчасти в Архангельской губерниях. Это как раз зона контакта с финно-угорскими народами, что делает «каменную» версию географически оправданной. Однако в тех же краях бытовали и диалектные слова — например, «кивила» в значении «грыжа» зафиксировано в вятских говорах. Так что обе гипотезы не исключают, а дополняют друг друга: в одном селе прозвище могли дать по камню, в соседнем — по болезни.

Спор между версиями решается только по конкретной родословной: если предки жили на берегу реки с валунами или работали каменщиками — вероятен первый путь. Если же в семье передавалось предание о «грыжнике» или знахаре — второй. Сама фамилия, несмотря на редкость, не выглядит искусственной: она вписана в живую диалектную и ономастическую традицию Русского Севера.