Фамилия Клемяшов образована от имени Клемяш — народной, разговорной формы крестильного имени Климент. Это имя пришло на Русь с христианством из греческого языка, где означало «милостивый, кроткий» (реже переводят как «виноградная лоза»). В основе фамилии — типичная для русских фамилий модель: к имени-прозвищу Клемяш добавили притяжательный суффикс -ов, который буквально отвечал на вопрос «чей?» и означал «сын Клемяша» или «принадлежащий Клемяшу».

Чередование гласных и/е (Климент — Клемяш) — не ошибка, а живой процесс. В русских говорах, особенно северных и центральных, звук «и» перед мягкими согласными часто переходил в «е»: так из Иван получался Еван, а из Климент — Клемент и, далее, уменьшительное Клемяш. Поэтому Клемяшов — фонетически закономерный вариант, а не искажение.

Имя Климент давали в честь нескольких святых, в первую очередь — папы римского Климента I, одного из апостолов от семидесяти. Его память православная церковь отмечает 23 января (5 февраля по новому стилю). В крестьянской среде имя было распространённым, а его уменьшительные формы — Клим, Клемя, Клемяш — давали начало десяткам фамилий: Климов, Клемин, Клементьев, Клемяшов.

В отличие от более частых Климовых или Клементьевых, фамилия Клемяшов встречается реже. Встречается она в основном в центральных и северных областях России — там, где акающие и екающие говоры сильнее меняли облик церковных имён. Сословного барьера у фамилии не было: Клемяшовыми могли быть и крестьяне, и мещане, и духовенство (среди священников имя Климент тоже было в ходу).