Фамилия Клещенкова — женская форма от Клещенков, и её разбор стоит начать с суффикса. Модель на -ов/-ев указывает на принадлежность: Клещенков буквально значит «сын Клещенка» или «человек из рода Клещенка». А вот само прозвище Клещенок — уменьшительное от Клещ. В русских говорах клещом называли не только насекомое, но и цепкого, прилипчивого человека, того, от кого трудно отвязаться. Прозвище могли дать назойливому соседу, навязчивому просителю или, наоборот, скупому — «прицепился, как клещ». В словаре В. Даля зафиксировано и слово «клещина» — растение череду, чьи колючки цепляются за одежду, что тоже могло стать метафорой.

В отличие от более распространённых фамилий на -ов (Клещёв, Клещов), форма с суффиксом -енк- типична для восточноукраинских и южнорусских земель. В XVII–XVIII веках -енко активно использовали в прозвищах детей и младших членов семьи, а затем фамилии на -енков закрепились в Курской, Воронежской, Белгородской губерниях. Так что предки Клещенковых, скорее всего, жили на границе Великороссии и Слобожанщины, в зоне смешения говоров и прозвищных традиций.

Есть и альтернативная версия: основа могла пойти не от насекомого, а от диалектного «клещ» — инструмент для выдёргивания гвоздей или щипцы. В этом случае прозвище Клещенок получил кузнец или плотник, работавший с металлом. Но такая гипотеза слабее: производные от названий ремёсел обычно образуются напрямую (Кузнецов, Плотников), а не через уменьшительную форму. Правдоподобнее, что прозвище описывало характер, а не профессию.

В написании фамилии есть особенность: ударение падает на второй слог — Клещéнков. Буква «щ» в корне сохраняется, хотя в бытовой речи иногда слышится твёрдое «ш» (Клешенков), что характерно для южнорусского акающего говора. Современные носители фамилии могут встретить вариант Клещинков, но это уже результат поздней канцелярской ошибки или влияния других фамилий на -ин.

Коротко: Клещенкова — фамилия прозвищного происхождения, связанная с характером предка (цепкий, навязчивый) и с южнорусским регионом. Другие версии (профессия, растение) менее убедительны, но не исключены полностью.