Фамилия Клетинская — это относительно редкая русская фамилия, образованная по географическому принципу. Её основа — топоним Клетино или Клетин. Такие названия встречаются в разных регионах России, например, в Псковской и Тверской областях. Человек, носивший фамилию Клетинский (женский вариант — Клетинская), скорее всего, происходил из одного из этих сёл или деревень. Суффикс -ск- указывает на принадлежность к месту, и в старину такие фамилии часто давали дворянам по названию их вотчин, но с XVIII–XIX веков они стали массово появляться у крестьян и мещан, которых переписывали по месту жительства.

Корень «клет-» в данном случае, скорее всего, восходит к слову «клеть» — так называли холодную избу, кладовую или амбар. В основе названия поселения могло лежать прозвище первого жителя (Клеть — человек, живший в отдельной клети или занимавшийся строительством клетей) либо особенность местности — например, село Клетино могло возникнуть как поселение при клетях (складах) на торговом пути. Менее вероятна, но возможна связь с диалектным «клетина» — загон для скота, что тоже могло дать название хутору.

Словообразовательная модель проста: топоним на -ино или -ин → притяжательное прилагательное с суффиксом -ск- → фамилия. Аналогов много: Ивановский, Петровский, Дубровинский. Однако Клетинская выделяется тем, что её корень не связан с личным именем, а почти наверняка — с хозяйственной постройкой, что указывает на крестьянское или купеческое происхождение предков. Дворянский род с такой фамилией не зафиксирован в известных гербовниках.

Встречаемость фамилии низкая. По данным открытых телефонных справочников и баз переписей, Клетинские живут в основном в центральной России и на Урале — это следствие миграций XIX–XX веков. Необычная концовка на -ая вместо -ий в мужском варианте встречается, но редко: в документах чаще пишут Клетинский. Если вы ищете свои корни, стоит проверить метрические книги по Псковской и Тверской губерниям — именно там с наибольшей вероятностью находилось то самое Клетино, от которого пошла фамилия.