Фамилия Клетнева — женская форма от Клетнев, и её разбор упирается в первую же трудность: корень «клет-» может вести как минимум в две стороны. Самое прямое объяснение — от слова «клеть». В древнерусском языке клетью называли не просто помещение, а отдельную хозяйственную постройку: амбар, кладовую, иногда жилую избу. Человек, получивший прозвище Клетень, мог жить в такой клети, сторожить её или, что вероятнее, быть плотником, который эти клети рубил. В говорах слово «клетник» означало и самого строителя, и помещение для хранения — фамилия могла родиться из такой профессиональной клички.

Вторая версия, менее очевидная, но имеющая право на существование, — связь с диалектным «клетный» (тот, кто сидит в клети, то есть узник). Однако эта гипотеза слабая: прозвища «Клетень» в значении «колодник» практически не встречаются в документах, а вот плотницкие имена — сплошь и рядом. Поэтому профессиональный корень выглядит убедительнее.

Суффикс -ев указывает на принадлежность: Клетнев — сын или потомок Клетня. Такая модель типична для фамилий, образованных от прозвищ с мягкой основой (сравните: Козлов от Козёл, но Клетнев от Клетень). Интересно, что в некоторых областях России фамилия могла писаться через «и» — Клетнева, но изредка встречается и вариант «Клётнев» с буквой «ё», что отражает местное произношение.

Географически фамилия Клетнева не привязана к одной губернии. Её носители встречаются и в центральных областях (Тверская, Смоленская), и на севере (Вологодчина, Архангельская область), где плотницкое дело было особенно развито. Встречаются также единичные случаи, когда фамилия могла возникнуть от названия деревни Клетни — такие топонимы есть в Брянской и Псковской областях, но это скорее вторичный источник, чем основной.

Если коротко: предок современной Клетневой с высокой вероятностью был строителем или владельцем клети-амбара. Точнее сказать сложно — письменных источников XVI–XVII веков по этой фамилии сохранилось немного. Но само слово «клеть» живёт в языке до сих пор, и фамилия звучит как прямая отсылка к крестьянскому быту, где каждая постройка имела своё имя.