Фамилия Клевиткина — женская форма от Клевиткин, и её разговор стоит начать не с корня, а с суффикса. Суффикс -ин указывает на принадлежность: так в старину отвечали на вопрос «чей?». Клевиткин — сын или потомок человека по прозвищу Клевитка. Основа здесь, скорее всего, не от имени, а от прозвища, связанного с глаголом «клевать» или существительным «клёв». В русских говорах «клевок» означал не только действие рыбы, но и человека, который быстро, отрывисто говорит или, наоборот, клюёт носом. Прозвище Клевитка могли дать и тому, кто постоянно придирался, «клевал» по мелочам.

Есть и вторая, менее очевидная версия. В некоторых западных и южных говорах «клевить» значило «кривить, гнуть» — отсюда «клевитый» как «кривой, косой». Если прозвище пошло от этого корня, то Клевитка — человек с изъяном осанки или зрения, либо же с хитрым, не прямым характером. Оба значения укладываются в модель образования: прозвищные фамилии на -ка в XVI–XVII веках были часты в крестьянской среде, особенно на севере и в центральных уездах России.

Фамилия редкая, в списках массовых не встречается. Её география — скорее всего, небольшие сёла бывших Тверской, Ярославской или Вологодской губерний, где суффикс -ин и прозвища с уменьшительным -к- были нормой. В дворянских родословных книгах Клевиткины не значатся — фамилия явно крестьянская или мещанская, без приставок и сложных суффиксов. Родственными можно считать Клевцов, Клевцовых и Клевиных — у них та же основа, но разные суффиксальные модели.

Если ваш предок носил эту фамилию, он, скорее всего, жил в среде, где прозвища давали по внешним чертам или привычкам, а не по ремеслу. Никакой тайны или аристократического корня здесь нет — зато есть прямая связь с живым русским говором, который почти ушёл.