Фамилия Клевицкая — женская форма фамилии Клевицкий, и её происхождение стоит искать не в прозвище или ремесле, а в географии. Перед нами типичная «топонимическая» фамилия, то есть образованная от названия места. Суффикс -ский/-цкий указывает на связь с местностью: в старину так называли помещика по названию его имения или выходца из определённого села.

Основа «Клевиц-» восходит к топониму вроде Клевицы, Клевичи или Клевицк. Такие названия встречались в западных регионах бывшей Речи Посполитой — на территории современных Беларуси, Польши, западной Украины. Например, в Беларуси есть деревня Клевичи, а в Польше — населённые пункты Клевице (Klewice) и Клевиска (Klewiska). Вполне вероятно, что первый носитель фамилии был либо шляхтичем, владевшим таким имением, либо крестьянином или мещанином, переселившимся оттуда и получившим прозвание по месту прежнего жительства.

Само название Клевичи, скорее всего, происходит от древнего личного имени или прозвища Клев. В славянских языках «клев» имело несколько значений: от «клюва» (птичий нос) до «хлева» (загона для скота), но в роли прозвища могло означать придирчивого, «клюющего» человека или, напротив, того, кто держал скотину. Впрочем, менее вероятно, что фамилия произошла напрямую от такого прозвища — слишком явно в ней читается «географический» суффикс.

В Российской империи фамилия Клевицкая была распространена преимущественно среди дворян и мещан западных губерний — Минской, Гродненской, Волынской. После разделов Польши многие носители такой фамилии перешли на русскую службу, и фамилия постепенно распространилась шире. В советское время она встречалась уже по всей стране, но до сих пор её концентрация заметна на западе Беларуси и в прилегающих областях Украины.

Если ваши предки носили эту фамилию, с высокой долей вероятности они происходят из западнорусских или польско-литовских земель, а сама фамилия — не прозвище, а указание на родовое гнездо или место выхода.