Фамилия Кличков — редкий случай, когда модель образования ставит больше вопросов, чем основа. В русских фамилиях суффикс -ов стандартно присоединяется к основе на твёрдый согласный (Кузнец → Кузнецов), а -ев — к мягкому или на -й (Соловей → Соловьёв). Здесь основа «Кличк-» заканчивается на твёрдое -ч, поэтому логичнее было бы ожидать «Кличков», а не «Кличков». Но фамилия пишется именно через «к».

Самое простое объяснение — основа происходит от слова кличка. В старину «кличкой» называли не только прозвище животного, но и имя, данное человеку в быту, в отличие от крестильного. Предок мог получить прозвище Кличка — либо за манеру громко звать, либо за то, что сам носил неофициальное имя, ставшее его «кличкой». От Клички образовался патроним Кличков: буквально «сын Клички».

Но есть и другая версия, менее очевидная. В псковских и тверских говорах «кличка» означала «клич, призыв», а в некоторых местах так называли деревянный молоток (колотушку) сторожа. Если предок был бирючом (глашатаем) или ночным сторожем, его могли прозвать Кличком или Кличкой. Фамилия тогда указывала бы на род занятий, а не на личное прозвище.

Географически фамилия редкая и встречается в основном в центральных областях России и в Поволжье. В дореволюционных переписях единичные Кличковы записаны в крестьянском сословии, преимущественно в Саратовской и Тамбовской губерниях. Дворянских родов с такой фамилией нет — это однозначно демократическая, «низовая» фамилия.

Сравните с однокоренными: Кличкин, Кличко. Последняя — украинская форма, где суффикс -ко уменьшительный. Русский вариант Кличков — более архаичный, он застыл в форме притяжательного прилагательного: «чей сын?» — Кличков. Споров о происхождении почти нет: большинство ономастов сходятся на прозвище Кличка, а не на редком ремесле.