Фамилия Климачков образована от имени Климачок — просторечной, уменьшительной формы крестильного мужского имени Климентий. Само имя Климентий пришло из греческого языка, где означало «милостивый» или, по другой версии, «виноградная лоза». В русской традиции такие «домашние» формы имени (Клима, Климачок, Климка) были в ходу в повседневной речи, а уже от них, по модели «чей сын?», возникали фамилии на -ов.

Словообразовательная цепочка здесь прямая: Климачок → Климачков, то есть «сын Климачка». Суффикс -ов указывает на принадлежность, типичную для русских фамилий, сложившихся в XV–XVII веках в среде крестьян и служилых людей. В отличие от фамилий на -ин (от основ на -а/-я), здесь сработала модель от основ на согласный и от полных форм с суффиксом -ок.

Интересно, что имя Климентий в народной среде давало много вариантов: Клим, Климуха, Климаш, Климач. Фамилия Климачков — относительно редкая, она бытует преимущественно в южных и центральных регионах России, а также на Украине, где форма «Климач» встречается чаще. Это позволяет предполагать, что предки носителя фамилии могли быть выходцами из этих мест, а само прозвище или имя Климачок закрепилось в быту как ласковое обращение к младшему или к человеку мягкого нрава — в духе значения «милостивый».

Никакой служебной или географической привязки к конкретному сословию у фамилии нет: она могла возникнуть и у крестьянина, и у ремесленника, и у казака. Главное, что её основа — личное имя, а не прозвище по профессии или внешности, что делает её типичной для массового слоя русских фамилий, образованных от канонических имён в их народной переработке.