Фамилия Климаков — типичный пример «отчества в третьем поколении», как сказал бы лингвист Б. Унбегаун. В её основе лежит не церковное полное имя, а его разговорная, народная форма — Климак, которая, в свою очередь, образована от канонического имени Климентий (греч. klementos — «милостивый» или, по другой версии, «виноградная лоза»). Суффикс -ов указывает на принадлежность: буквально «сын Климака» или «из рода Климаковых».

Интересно, что в русской ономастике закрепилась именно «короткая» форма основы, а не «Климентьев». Это говорит о том, что фамилия сложилась в среде, где имя употребляли в бытовом, сокращённом варианте — среди крестьян или посадских людей, а не в книжной среде. Вариант «Климак» (с ударением на второй слог) характерен для северных и центральных говоров, где звук «к» в конце сохранялся, в отличие от южнорусского «Климач».

В документах фамилия встречается с XVII века, преимущественно в писцовых книгах Вологды и Вятки. Её однокоренные «родственники» — Климов, Климкин, Клементьев — разошлись по разным словообразовательным моделям. Климаков же стоит особняком: это редкий случай, когда в основе лежит не «Клим» (отсечение суффикса), а именно «Климак» (полная народная форма с сохранившимся суффиксом -ак). Такие фамилии на -ак часто давали прозвищам или именам с оттенком просторечности, что делает Климаковых носителями живого, неказённого языка предков.

Сословно фамилия не была закреплена за дворянством: в старых списках Климаковы — это крестьяне, реже — мещане. Дворянских гербов с этой фамилией нет. Если ваши предки носили её, скорее всего, они были людьми «тяглыми» — пахали землю или занимались ремеслом на посаде.