Фамилия Климкович образована от имени Климко — народной, обиходной формы канонического крестильного имени Климентий. Имя это греческого происхождения, и его толкуют двояко: либо как «милостивый» (от эпитета к Зевсу), либо как «виноградная лоза» (символ плодородия и жизни). В русской и белорусской традиции имя Климентий часто сокращали до Клим, а уже от него шли ласкательные и обиходные варианты вроде Климко. Фамилия Климкович означает «сын Климко» или «потомок Климко».

Словообразовательная модель здесь прозрачна: суффикс -ович указывает на отчество или фамилию, закрепившуюся за сыном человека по имени Климко. В восточнославянской ономастике фамилии на -ович особенно характерны для белорусской и украинской традиции, где они нередко вытесняли более простые формы на -ов или -ин. В Великом княжестве Литовском, а затем в Речи Посполитой, фамилии с таким суффиксом носили не только шляхта, но и крестьяне, и мещане — он был распространён шире, чем в Московском государстве. Поэтому Климкович с высокой вероятностью указывает на западнорусское, белорусское или украинское происхождение рода.

Иногда встречается версия, что в основе фамилии лежит не имя, а прозвище Климко, связанное с диалектным словом «клим» — так в некоторых говорах называли простоватого, нерасторопного человека. Однако это объяснение менее убедительно: прозвищная версия обычно возникает, когда имя-основа редко или неканонично, а Климко — широко известная уменьшительная форма. Поэтому основная и правдоподобная версия — патронимическая, от имени Климко.

В написании фамилии возможны варианты: Климкович, Климковіч (по-белорусски), Kłymkowycz (латиница в польской традиции). Встречается она и среди еврейского населения бывшей черты оседлости — в этом случае фамилия могла быть присвоена при переписях XIX века от имени Клим (как вариант имени Калман или просто как дань местной традиции). Но для большинства носителей — это обычная славянская фамилия, закреплённая за потомками человека по имени Климентий.