Климко — вариант канонического имени Климентий, что в переводе с греческого означает «милостливый» или «виноградная лоза». Скорее всего, основатель рода Климковских был человеком из простого сословия. Таким образом, потомок человека, обладающего именем Климко, со временем получил фамилию Климковский.