Фамилия Клищенкова — женская форма, а мужская, Клищенков, встречается реже, и это первая зацепка. Она образована не от имени, а от прозвища или профессии, и её разбор показывает, как в русской ономастике работают уменьшительные суффиксы с оттенком принадлежности.

Основа — «Клищ» или «Клища». Скорее всего, это не полное имя, а прозвище, которое дали человеку с характерной чертой или занятием. Самое прямое объяснение — от слова «клещ» (в диалектах «клищ»). В южнорусских и украинских говорах «клещ» могло означать не только насекомое, но и назойливого, приставучего человека, либо, наоборот, того, кто «вцепился» в дело — упрямого работника. Второй вариант — от глагола «клещить» (сжимать, зажимать), и тогда прозвище могли дать кузнецу или столяру, работающему с клещами.

Суффикс «-енк-» в фамилии Клищенков указывает на восточноукраинское или южнорусское происхождение. В XIX веке фамилии с этим суффиксом активно формировались на Слобожанщине, в Курской, Воронежской, Харьковской губерниях. «Клищенко» — это отчество-прозвище: «сын Клища». А уже от него по московской модели прибавили «-ов», получив Клищенков — «кто-то из рода Клищенко». Такая двойная суффиксация встречается нечасто и говорит о миграции семьи: предок носил украинскую форму, а потомки, переехав в великорусские земли, русифицировали фамилию.

Версия с именем Климент (разговорное Клим) маловероятна: от Клима закономерно пошли бы Климов, Климович или Клименков. Форма Клищенков предполагает основу «Клищ», а не «Клим». Если же отбросить суффикс «-енк-», то остаётся «Клищ» — слово, которое в псковских и тверских говорах означало ещё и «клюв» или «нос с горбинкой». Так что прозвище могло быть чисто внешним.

Социально носители фамилии — почти наверняка крестьяне или мещане, без дворянских корней. Дворянские фамилии редко заканчиваются на «-енков», это маркер простонародной среды. В современных справочниках Клищенковы встречаются в Белгородской, Воронежской областях и на юге России — что подтверждает привязку к чернозёмной полосе.

Коротко: фамилия не про древнюю знать, а про человека, которого в селе звали Клищ — за характер, профессию или внешность. Его сын стал Клищенко, а внук, перебравшись на север, записался Клищенковым.