Фамилия Клющкин — редкий случай в русской ономастике, где основа не очевидна на первый взгляд. Она образована по продуктивной модели с суффиксом -ин, который в русских фамилиях указывает на принадлежность: «чей?» — Клющкин, то есть сын или потомок Клющки. Суффикс -к- в основе (Клющ-к-а) — типичный уменьшительный или прозвищный формант, так что прямое значение фамилии — «потомок человека по прозвищу Клющка».

Самая вероятная версия происхождения прозвища — от диалектного слова «клющ» или «клющь». В южнорусских и украинских говорах так называли клеща (насекомое или паразита). Прозвище Клющ (а затем и Клющка) мог получить человек назойливый, приставучий или, наоборот, цепкий и упорный — как клещ. Такие прозвища по насекомым были нередки: вспомните фамилии Жуков, Комаров, Пауков.

Вторая версия, менее вероятная, но возможная — связь с глаголом «клюкать» (клевать, пить, а также стучать). В этом случае Клющка — человек, который «клюёт» носом, или же тот, кто любит выпить. Однако фонетический переход от «клюка» к «клющ» неочевиден и требует дополнительных допущений.

Географически фамилия тяготеет к югу России и Украине — регионам, где слово «клющ» было в ходу. Встречается она крайне редко, что говорит о локальном происхождении, возможно, из одной-двух крестьянских семей. В старых документах фамилия могла писаться как Клющин или Ключкин — из-за путаницы на слух, но современное написание закрепилось именно с согласным «щ».

Сословно, скорее всего, Клющкины — бывшие крестьяне или мещане. Фамилии на -ин с прозвищной основой редко встречались у дворянства, которое чаще носило фамилии на -ов/-ев или -ский. Если ваши предки — Клющкины, то искать их корни стоит в курских, воронежских или харьковских губерниях, где диалектная лексика сохраняла слово «клющ» дольше всего.