Фамилия Клютина — женская форма, а мужская, Клютин, образована по одной из самых распространённых в русском языке моделей: с помощью суффикса -ин. Этот суффикс присоединяли к основам, оканчивающимся на -а или -я, и означал он «чей?», то есть «сын такого-то» или «человек из семьи такого-то». В данном случае основа — Клюта. Это не полное имя, а прозвище или производная форма от крестильного имени.

Самый прямой путь к происхождению — слово «клюка». В старину клюкой называли не только трость с загнутым концом, но и хитрость, уловку, крючкотворство. Отсюда «клюка» могла стать прозвищем хитрого, изворотливого человека или того, кто ходил с клюкой — пожилого, больного или странника. Форма Клюта возникла так же, как, скажем, Кривошея от кривой шеи или Губа от губастого: усечение и добавление окончания -а. Тогда Клютин — это «сын Клюты», то есть потомок человека с прозвищем Клюта.

Вторая версия, менее вероятная, но возможная: Клюта — это сокращение от редкого нецерковного имени Клютан или Клютаня. В древнерусских говорах «клютый» могло означать «сильный», «здоровый», но это слово почти не сохранилось в письменных источниках и реконструируется лингвистами с оговорками. В словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна) фамилии на -ин от прозвищ с корнем «клюк-» обычно связывают именно с клюкой, а не с гипотетическим «клютый».

Географически фамилия Клютин (и Клютина) встречается в разных регионах, но заметна в центральных областях России и в Поволжье. Встречаются и родственные фамилии: Клюкин, Ключников, Клюев — но Клютин стоит особняком, потому что его основа не «ключ» и не «клюв», а именно «клюк» в прозвищной форме. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, родоначальник был человеком с характером — либо хитроватым и себе на уме, либо просто ходившим с клюкой по старости или болезни.