Фамилия Кочерна — редкая и звучит не по-русски. Её основа, судя по всему, не славянская, а тюркская или, что вероятнее, румыно-молдавская. В украинском, молдавском и южнорусском диалектах слово «кочерна» или «кочурна» может означать «кочерга» — утварь для перемешивания углей в печи. Однако за этим прозвищем могло стоять не ремесло, а внешность: кочерга — чёрная, кривая, поэтому так могли прозвать смуглого или сутулого человека. Вторая версия — от тюркского «кёч» (кочевать) или «кюч» (сила), но это менее убедительно: фамилия не имеет типичных тюркских суффиксов и закрепилась скорее в оседлых регионах.

Если фамилия действительно происходит от «кочерги», то её словообразовательная модель проста: основа «кочерн-» (с чередованием «г/ж/ч» из «кочерга») плюс окончание -а. В украинском и молдавском языках фамилии на -а часто оформлялись без дополнительных суффиксов, как прозвища. Сравните с фамилией Кочерга — она встречается чаще, а Кочерна может быть её диалектным вариантом или результатом фонетического сдвига (замена «г» на «н» под влиянием местного говора).

Географически фамилия Кочерна тяготеет к западу и югу: Черновицкая область Украины, Молдова, а также казачьи области России (Кубань, Дон). Там, где смешались славянские и романские языки, прозвища легко переходили в фамилии без изменения. Встречается она и в Беларуси, но реже. Социальный слой носителей — скорее крестьянство или казачество: прозвища по предметам быта давали простым людям, а не дворянам.

Спор о происхождении фамилии невелик: версия с «кочергой» — основная и логичная, альтернативная (от имени Кочер, которое могло быть вариантом Кондрата) слаба, так как не объясняет окончание -а. Если ваши предки носили фамилию Кочерна, ищите их корни в сёлах Западной Украины или Молдовы — там она не удивляла соседей, а просто обозначала человека, которого в семье прозвали за смуглую кожу или работу у печи.