Фамилия Конашкова — отчество второго порядка, то есть «внук Конаша», а точнее — дочь или жена Конашко. Основа здесь — мужское личное имя или прозвище Конаш. Оно, скорее всего, восходит к каноническому греческому имени Конон, которое значит «трудящийся, трудолюбивый». В народной среде, особенно на белорусских и украинских землях, имя Конон часто переоформляли в Конаш, а потом добавляли уменьшительный суффикс -ко, образуя форму Конашко. Именно этот суффикс — верный указатель на западнорусское происхождение фамилии: в белорусской и украинской традициях он превращал полное имя в обиходное и одновременно служил основой для фамилий на -ов/-ев.

Менее вероятная, но не исключённая версия связывает Конаша с германским именем Конрад, где корни kvon («отважный, смелый») и rad («совет»). Однако в пользу греческой версии говорит и то, что имя Конон было распространено у православных славян, а Конрад — у католиков. Если бы предок Конашковых пришёл из немецких земель, фамилия скорее сохранила бы форму Конрадов, а не прошла через белорусское -ко.

Таким образом, носительница фамилии Конашкова — потомок человека, которого в быту звали Конаш, а в документах — Конашко. Судя по модели образования, её предки жили на территории современной Беларуси или Украины и были, вероятно, крестьянами или мещанами: именно в этих сословиях отчества на -ко особенно часто переходили в наследственные фамилии.