Фамилия Конашков — это отчество второго порядка, то есть «внук Конаша», а точнее — сын Конашко. Модель образования простая: к основе Конаш добавили уменьшительный суффикс -ко (характерный для белорусских и украинских говоров), а затем уже от этого имени Конашко по стандартной русской модели сделали фамилию на -ов.

Сам корень Конаш — спорный. Самая вероятная версия: это народная, белорусская или западнорусская форма крестильного имени Конон. Имя греческое, от слова «конос» — «трудящийся, трудолюбивый». В разговорной речи имя Конон легко могло превратиться в Конаш: через усечение и добавление суффикса -ш, который в славянских языках часто образовывал обиходные варианты канонических имён (сравните: Мирон — Мирош, Савва — Саваш, Пётр — Петраш).

Реже фамилию выводят из германского имени Конрад, разбивая его на части: kvon (отважный, смелый) и rad (совет, советник). Но эта версия слабее. Германские имена редко давали такие уменьшительные формы в славянской среде, да и географически фамилия Конашков плотнее всего привязана к регионам, где традиционно сильны православные и греческие имена, а не западноевропейские.

Итог простой: предок носителя фамилии носил обиходное имя Конаш (трудолюбивый человек), его сына звали Конашко, а внук уже по отцу записался как Конашков.