Фамилия Коражаев — редкая и неочевидная. На первый взгляд в ней слышится что-то иноязычное, но на поверку это, скорее всего, исконно русская фамилия, образованная от прозвища, которое связано с диалектным словом.

Самый вероятный источник — прозвище Кор(а)жа, Коржа или Коража. В русских говорах слово «кораж» (или «корёжить») означает «гнуть, ломать, коверкать». Прозвище Кор(а)жа могли дать человеку с необычной походкой, сутулому, «скрюченному», либо же тому, кто постоянно «корёжил» что-то в работе — например, гнул дуги или полозья. Есть и менее очевидная версия: от слова «кораж» в значении «сухой сук, коряга» — такое прозвище мог получить человек крепкий, жилистый, сухой телом.

Суффикс -аев указывает на отчество от прозвища Коражай. Это типичная модель для русских фамилий XVI–XVII веков: сначала было прозвище Коража (или Коражай), затем отчество Коражаев сын, которое и закрепилось как фамилия. Форма на -аев, а не на -ов, встречается реже и часто указывает на северное или восточное происхождение — в Архангельской, Вологодской губерниях или в Поволжье.

Версия о тюркском корне (например, от слова «кора» — «смотреть» или «кара» — «чёрный») выглядит натянутой: фамилия не имеет типичных тюркских суффиксов, а основа «Коража» не встречается в известных тюркских именниках. Поэтому диалектное русское происхождение — самое правдоподобное.

Предки Коражаевых, скорее всего, были крестьянами или ремесленниками из северных или центральных губерний России. Прозвище давалось по внешности или по роду занятий, а не по знатности, так что фамилия — из числа «простых», но с яркой образной основой.