Фамилия Корнейучк звучит необычно для русского уха, и это подсказка: перед нами яркий пример украинской модели образования фамилий. Ключевой элемент — суффикс -ук (-юк), который в украинской ономастике означает «маленький» или «сын» (сравните с русским -ович/-евич). Если основа «Корней», то Корнейучк — это буквально «сын Корнея» или «потомок Корнея».

Основа фамилии — мужское имя Корней, народная форма канонического имени Корнилий (от латинского cornu — «рог»). В православных святцах это имя носили несколько раннехристианских мучеников, но в народной среде оно прижилось именно в кратком варианте Корней. Имя было распространено на юге России и в Украине, особенно среди крестьян и казачества.

Географически фамилия Корнейучк почти наверняка происходит с территории современной Западной или Центральной Украины (Волынь, Подолье, Полтавщина). Суффикс -ук/-юк там особенно характерен для сельских фамилий, которые фиксировали принадлежность к роду, а не к месту жительства. В Российской империи такие фамилии часто записывали на слух, поэтому возможны варианты написания: Корнейчук (более привычный для русского уха) или Корнейук. Ваш вариант — Корнейучк — может быть редкой диалектной или орфографической формой, где «ч» смягчилось под влиянием местного говора.

Интересно, что фамилия Корнейучк не связана с растением «корень» или «корневище», как можно было бы подумать. Это чисто патронимическая фамилия, и её носители в прошлом были просто «Корнеевыми детьми». Никакого ремесла или прозвища за ней не стоит, только имя родоначальника. Среди известных носителей самой распространённой формы (Корнейчук) — советский драматург Александр Корнейчук, но это уже другая ветвь фамилии, хотя и с тем же корнем.

Таким образом, если ваша фамилия Корнейучк, ваши предки — украинцы, чей родоначальник носил имя Корней. Фамилия эта не древняя (массово такие формы закрепились в XVII–XIX веках), но очень типичная для своего региона и прозрачная по смыслу.