Фамилия Коверник образована от прозвища, связанного с ремеслом. В её основе лежит слово «ковёр» — напольное изделие из ткани. Суффикс -ник в русских фамилиях почти всегда указывает на профессию или занятие: бортник (бортничал, добывал мёд), плотник, сапожник. Коверник — это не просто «тот, кто делает ковры», а скорее «мастер по коврам»: ткач, валяльщик или торговец коврами. В говорах слово могло означать и человека, который стелил ковры в богатых домах, или того, кто занимался их ремонтом и чисткой.

Модель образования типична для восточнославянских фамилий: основа существительного + суффикс -ник. В отличие от распространённых фамилий на -ов/-ев (Коверников), форма Коверник — это «чистое» прозвище без дополнительного патронимического суффикса. Такие фамилии чаще встречались на Украине и в южных областях России, где прозвища нередко закреплялись в документах без изменений. В северных и центральных регионах её, скорее всего, переделали бы в Коверников.

Версия о происхождении от географического названия (например, от села Коверники) маловероятна: топонимов с такой основой в известных источниках почти нет. Также маловероятна связь с глаголом «коверкать» — ударение в фамилии падает на второй слог, а в глаголе на первый, и семантика слишком далека от ремесла.

Фамилия редкая. В дореволюционных переписях её носители могли быть ремесленниками, мещанами или крестьянами, занимавшимися ковроткачеством — промыслом, распространённым в южных губерниях, особенно среди казачества и в слободских сёлах.